서론
반도체 공학자, 학생 분들은 처음에 반도체를 접할 때, 처음부터 '양자 역학'이라는 큰 벽을 마주하게 됩니다.
사실 5년 전까지만 해도, 대학생들에게 양자 역학에 대한 이해는 필요하지 않았습니다.
'양자 기술'을 이용한 반도체 소자는 없었으니까요. 그저 받아들이기만 하면 됐었죠.
이미 우리는 보어의 원자 모형으로부터 전자의 에너지가 양자화되어 있단 사실을 알고 있었고, 에너지 밴드의 개념을 알아 실리콘의 에너지 밴드갭이 1.12eV라는 것을 알고 있었습니다.
이 사실 자체를 증명하는 과정에서 필요한 학문이 '양자 역학'입니다. 슈뢰딩거 방정식을 통해서 증명을 하지요.
즉, 반도체를 이해하기 필수적인 과목이 아니라고 조심 스래 생각했습니다.
하지만, 양자 컴퓨팅, 양자 터널링 소자 등 양자 현상을 이용한 소자들이 탄생하기 시작하며, 다시 양자 역학이 뜨게 되었습니다. 이 분야에서 '연구'를 하실 분들은 당연히 양자 역학에 대한 이해가 필요해 졌습니다.
이번 글에서 기본적인 '양자 역학'에 대해 설명을 드리겠습니다.
반도체에서 양자역학을 배우는 이유
현재 수능 물리, 대학 물리학은 모두 '뉴턴 역학', 즉 고전 역학으로부터 식을 규명하고 현상들을 설명합니다.
반도체에서는 전자, hole 같은 매우 작은 미세 입자들의 거동을 통해 작동되는 소자입니다.
이 미세 입자들의 거동(움직임)을 고전 역학으로 설명할 수 없기 때문에, 양자역학을 통해 현상들을 설명합니다.
* F = ma에서 m이 너무 작아 설명이 되지 않습니다.
즉, 전자의 거동을 알기 위해 양자 역학을 배운다고 생각하시면 됩니다.
전자는 입자성과 파동성을 둘 다 가집니다. 고전 역학에서는 입자성과 파동성은 공존할 수 없기 때문에 구분 지어서 설명을 했죠. 하지만, 전자는 입자성-파동성 특성을 둘 다 가지기 때문에 양자 역학을 통해 전자의 거동을 배워야 합니다.
반도체 소자의 전류-전압 특성을 정확하게 이해를 하기 위해 결정격자 내 전자의 거동에 대한 양자역학적 지식이 필요합니다.
양자역학을 이해하기 위한 기초 지식
1. 드브로이의 물질파 개념
드브로이는 보어 모형에서 전자가 어느 점에 국지적으로 존재하는 입자가 아니라, 원자핵 주위에 정재파로 존재하는 질량 m, 전하 -q인 물질파로 간주를 하였습니다.
이 드브로이의 물질파 개념은 미시 세계에서 파동과 입자를 연결시켜 줬습니다.
(드브로이는 운동에너지 및 운동량으로부터 진동수와 파장을 유도함에 따라 전자 입자의 파동적 특성을 증명하였습니다.)
2. 드브로이 이론에 따라 양자역학에서 모든 물질이 입자와 파동의 성질을 동시에 지니는 '파동-입자 이중성'을 가지고 있습니다.
전자도 마찬가지로 입자이자 파동입니다
3. 슈뢰딩거의 파동 방정식
드브로이 이론에 의해 도입된 파동-입자 이중성 가설과, Planck에 의해 도입된 양자 가설을 결합하여 파동 방정식을 제안하게 되었습니다.
이 식은 시간의 무관한 슈뢰딩거 방정식으로 유도됩니다.
식은 크게 이해하실 필요는 없습니다. 시험 때는 외우셔야겠지만요,
이 아래 시간 독립형 슈뢰딩거 방정식을 통해 모든 전자의 거동을 설명할 수 있습니다.
암튼 이 파동 함수의 제곱은 주어진 시간에서 x와 x + dx 위치 사이에 입자를 발견할 확률, 즉 확률 밀도 함수라고 합니다.
즉, 입자의 위치가 확률로서 주어지는 특성을 가지고 있죠. (고전 역학은 입자의 위치가 정확히 결정됩니다.)
4. Heisenberg의 불확실성 원리입니다.
입자의 위치(시간)와 운동량(에너지)은 절대적 정확성을 가지고 동시에 묘사할 수 없습니다.
위치가 정해지면 운동량 값을 규명하기 어렵고, 운동량 값이 정해지면 정확한 위치를 알 수 없습니다.
전자의 위치를 정확히 결정할 수 없으므로, 전자를 특정 위치에서 발견할 '확률'인 확률 밀도 함수로 표현합니다.
시간이 정해지면 에너지 값을 규명하기 어렵고, 에너지 값이 정해지면 정확한 시간을 알 수 없습니다.
전자가 특정 에너지를 가질 확률 등 전자의 거동을 확률 함수로 표현합니다.
이러한 내용은 두 개의 식으로 나타낼 수 있습니다.
암튼 '전자의 위치'는 '확률'로 나타내고, 이 확률'을 구하기 위해 슈뢰딩거 파동 방정식(양자역학)을 도입하여 설명을 할 수 있습니다.
4가지 전자 구동 현상에 파동 방정식 적용
슈뢰딩거의 파동 방정식을 4개의 전자 구동 현상에 적용합니다.
슈뢰딩거 파동방정식 수식 증명 관련 포스팅은 아래 링크에 있습니다.
2022.10.24 - [전체 글] - 반도체 물성과 소자) 특별판. 양자 역학, 슈뢰딩거 방정식 증명
1. 자유 공간에서의 전자 구동(V(x) = 0)
자유 공간에서는 전위 장벽이 없기 때문에, 파동 방정식의 해를 구했을 때, 위치에 무관한 상수가 나오게 됩니다. 따라서, 운동량을 갖는 자유 입자는 동일한 확률을 가지고 모든 위치에서 발견됩니다. 자유 전자의 거동이라고 생각하시면 편합니다.
시간 독립형 슈뢰딩거 방정식에서 V(x) = 0을 대입 시, 일정한 에너지 값(상수 값)이 나옵니다.
즉, 자유전자는 일정한 에너지 값을 갖고, 이를 통해 일정한 파장, 운동량을 갖음을 알 수 있습니다.
2. 무한한 전위 우물에 구속된 전자의 구동(반도체에서 가장 핵심)
Region1, Region 3은 전위가 매우 크기 때문에 전자가 존재하지 않아 파동 함수는 0입니다.
하지만 Region 2 같은 경우는 n값, 즉 주 양자수의 값에 따라 에너지 레벨이 달라집니다.
따라서 무한 전위 우물에 갇힌 전자의 총에너지는 불연속적인 값을 가지며 특정한 값을 갖게 됩니다. 이를 에너지 양자화가 되었다고 합니다. (에너지 양자화의 증명)
.
모든 고체 물질은 무한 전위 우물에 갇혀있습니다. 왜일까요?
도체, 부도체, 반도체는 모두 '고체'상태입니다. 고체의 표면은 전위가 매우 높죠.(전자가 탈출을 못하는 이유입니다.)
따라서, 이를 '무한 전위 우물'에 갇혀 있다고 말하는 것입니다.
이에 양자화가 진행되는 것입니다.
또한 이 개념을 통해 에너지 밴드도 설명할 수 있습니다.
고체는 근처 원자들이 엄청 많아 양자화된, 불연속 한 전자가 모여 '에너지 밴드'가 형성되게 됩니다.
이는 '파울리 베타 원리'를 설명을 해 드려야 하는데요, 포스팅이 너무 길어져서 다음 포스팅에서 마저 적도록 하겠습니다.
결론적으로, 이 무한한 전위 우물 속 전자의 거동을 이해함으로써 전자 에너지가 양자화가 됨을 알 수 있고, 에너지 밴드가 생성된다는 것을 알 수 있습니다.
3. 계단 장벽에 있을 때의 전자의 구동
고전 역학에서 에너지 장벽에 입사한 모든 입자들이 반사되지만, 양자역학의 측면에서는 영역 2에 존재할 확률이 존재합니다. 물론 입자의 에너지는 장벽의 높이보다 작아 위로 투과는 불가능합니다.
4. 높이, 두께를 만난 전위 장벽을 만났을 때 전자의 구동(Tunneling 현상)
계단 장벽에 있을 때의 전자의 구동의 응용입니다.
전자가 장벽을 뚫고 영역 3에 나타날 확률이 존재합니다. 이를 터널링 현상이라고 합니다.
Region 2의 폭이 작을수록 터널링 현상이 많아집니다.
이러한 구동을 이해하여 터널링 소자, 양자 소자로 많이 응용합니다.
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